7.4.2020 | Svátek má Heřman, Hermína


MATEMATIKA: Jak se kreslí epidemie

24.3.2020

aneb Něco málo o lineárních a logaritmických osách

Dostal jsem včera pěkný dotaz od čtenáře:

„Studuji grafy o nemoci Covid-19 v Itálii z této stránky. Jsou tam grafy s lineárním nebo logaritmickým měřítkem. Mám laickou otázku – které měřítko je více vypovídající, co věrněji ukazuje trendy? Z mého „pocitu“ každý graf působí jinak. První vypadá víc hrůzostrašně.
Jan Grohmann

Perfektní. Matematika a choroby, o tom se bude psát skvěle. Jdeme na to. Odpověď totiž nemůže být úplně krátká. Na něco je lepší lineární osa Y, na něco zase ta logaritmická.

*****************************

V normálním životě jsme zvyklí na lineární grafy. Je to tím, že drtivá většina jevů, které se v našem okolí vyskytují, se vyvíjí v čase „krotce“, takže dává smysl, aby osa Y měla stejně velké dílky.

Příklad – takhle roste průměrné dítě ve Spojených státech amerických.

graf 1

Jak vidíte, není to zas tak velký rozsah. Začínáte u 50 cm, skončíte pod dvěma metry, ale žádný člověk nenaroste do výšky třeba 20 kilometrů. V tomhle případě dává klasický graf s lineární osou Y nejlepší pojem, co se děje.

Podobně třeba – z úplně jiné oblasti života – podíl e-shopů na celkových prodejích zboží koncovým zákazníkům:

graf 2

Zase, „mírný pokrok“, žádné drastické skoky. Tímhle způsobem funguje valná většina jevů v našem okolí, a to včetně „normálních výjimek“. Dostanete-li třeba mimořádné osobní ohodnocení k platu, může to být dejme tomu 10 tisíc Kč, ale nebude to 10 miliard Kč. (Pokud přeci jen ano, rád bych vás přesměroval na stránku Chci podpořit tento blog:-)) Atd., atd.

Lineární grafy jsou dobré v tom, že přehledně a intuitivně zobrazují skutečný rozsah jevu počítaný v penězích, lidech atd. V případě italské epidemie je tedy ten varovný dojem zcela na místě, protože tamní počet nakažených je skutečně docela vysoký a roste. Lineární graf vám dobře řekne například to, že hrozí přetížení zdravotního systému, případně krematorií.

graf 3

No dobře, co nám tedy graf s lineárními osami na první pohled neřekne?

*****************************

Exponenciální růst je něco, na co nejsme z běžného života zvyklí. Teoreticky se učíme o exponenciále na středních a vysokých školách, v praxi si ji jen málokdo „osahá“. Prudký růst exponenciální křivky jde proti naší intuici, špatně se nám představuje.

Existuje historka spojená se vznikem hry v šachy, která tohle ilustruje.

Kdysi dávno, když byly vynalezeny šachy, si král pozval vynálezce hry k sobě a řekl mu, že jej chce odměnit. „Jen pověz, co bys chtěl!“
Vynálezce vytáhl šachovnici, položil na její první políčko jedno zrnko pšenice, na druhé dvě, na třetí čtyři… a řekl králi: „Ať tvoji sluhové přinesou ke každému dalšímu políčku dvakrát víc pšenice než k tomu předešlému. A až projdou celou šachovnici, bude všechna přinesená pšenice moje.“
„Když chceš tak málo, tak prosím …!“ zasmál se král a odešel. Jenže za chvíli jej volali, že ještě ani nejsou moc daleko a už by jim došla všechna pšenice v království.
Příběh má dva různé konce. Podle jednoho z nich byl vynálezce povýšen na královského rádce, podle toho druhého jej za drzost popravili.

Kolik pšenice by tedy vlastně hrdinovi příběhu patřilo? Rychlým použitím vzorce pro součet geometrické posloupnosti v tomto případě dostaneme, že vynálezce měl obdržet 264-1 = 18,446,744,073,709,551,615 zrnek pšenice, což více než tisícinásobně převyšuje dnešní roční úrodu na celé planetě, natož pak jednoho království v dobách, kdy se pole oralo s buvolem.

Mezi exponenciální jevy patří i šíření epidemie, hlavně na jejím samotném počátku. Dejme tomu, že každý pacient nakazí tři další lidi. Růst je po počátečním „pomalém rozjezdu“ ohromně rychlý: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049 a tak dále. Samozřejmě to nejde do nekonečna, protože na Zemi nežije nekonečné množství lidí. Časem dojdou chorobě „nové oběti“ a šíření se zpomalí až zastaví, asi stejně, jako když požár vyhasne po tom, co spotřeboval všechno palivo. Ale ten nárůst ze začátku je hodně strmý.

(Drobný detail: už v počátečních fázích se samozřejmě bude dít to, že někdo dostane tenhle dáreček od dvou či tří jiných lidí, takže ten růst nebude úplně čistou exponenciálou ani tehdy.)

U hodně strmých křivek je v lineárním grafu těžké posoudit, jak se vyvíjejí. Jedna z věcí, která vás třeba bude zajímat, je ta, zda se nějakým opatřením (dejme tomu zavřením škol) podařilo rychlost šíření aspoň snížit. Z lineárního grafu se to odhaduje těžko, je moc ostrý.

(Srovnal bych to se snahou odhadnout, kolik pater má mrakodrap, když stojíte těsně u jeho paty a zakláníte hlavu nahoru. Má ta ubíhající nudle těch pater sto nebo sto padesát…? Nedá se to, k tomu potřebujete nějaký odstup.)

Zato graf s logaritmickými hodnotami, ten je v tomhle případě výborným pomocníkem. V něm se čistá exponenciála změní v rovnou čáru (přímku), což znamená, že velmi snadno vidíme, zda se růst daří krotit nebo nikoliv. „Krocení“ růstu se projeví tím, že se křivka vývoje začne „ohýbat dolů“.

Toto je graf pro Itálii.

graf 4

Z něj vidíme, že rychlost šíření se přeci jen trochu zmenšuje. Čára není v průběhu března 2020 zcela rovná, lehounce se ohýbá. Ale málo. Není tam žádný výrazný zlom směrem dolů. Buď zatím ta opatření nejsou moc účinná, nebo testování odhaluje čím dál více dříve skrytých případů, o kterých se dříve nevědělo.

Update 23.3. v 15.10: Byl jsem upozorněn čtenáři, že ten poslední odstavec je zmatečně formulovaný. Tak tedy nový pokus, je potřeba to rozebrat podrobněji.

Počet všech případů, Total Cases, musí při účinných opatřeních dospět k nulovému přírůstku, tj. stát se vodorovným, konstantním. Analyticky řečeno, derivace té křivky musí klesnout k nule. Hodnota samotná už klesat nemůže (leda by se zjistilo, že nějaké případy byly diagnostikovány jako falešně pozitivní, což se asi nestane).

Po grafu aktivních případů (Active Cases), tj. těch, které ještě neskončily smrtí nebo uzdravením, naopak chceme, aby samotné hodnoty začaly klesat zpátky k nule, tj. aby pacientů ubývalo. Analyticky řečeno, derivace se musí stát zápornou, místo růstu musí nastat pokles.

Na stránkách, ze kterých jsem přebíral obrázky, jsou grafy všech případů dostupné jako lineární i jako logaritmické, kdežto grafy aktivních případů jenom jako lineární, takže grafy v tomto článku jsou grafy všech případů. Z hlediska zátěže zdravotního systému jsou ovšem samozřejmě zajímavější ty případy aktivní, o které se musí někdo starat.

Tak, a teď doufám, že jsem na závěr nezanesl do článku více zmatení, než je zdrávo.

*****************************

Hudební epilog
Veškeré epidemie začínají u jednoho člověka. A hlavní hrdina této písně má také se zdravotnickým systémem více kontaktů, než by chtěl – i když z jiných důvodů.

****************************************
ZAPOMENUTÉ PŘÍBĚHY 2
Když je něco zapomenutého, je dobře se ptát, jak se to stalo. Zapomnělo se proto, že se něco dostalo za horizont času a zájmu, anebo proto, že se nějak někomu zapomenout chtělo? Autor v této knížce nahlíží do událostí zas tak ne moc vzdálených.
Objednat si ji můžete na této adrese.

zapomenuté příběhy 2

Převzato z Kechlibar.net se souhlasem autora








 Neviditelný pes
Toto je DENÍK: do sítě jde obvykle nejpozději do 8.00 hod. aktuálního dne. Pokud zaspím, opiji se, zešílím nebo se zastřelím, patřičně na to upozorním - neboť jen v takovém případě vyjde Pes jindy, eventuálně nikdy.
Šéfredaktor Ondřej Neff (nickname Aston), příspěvky laskavě posílejte na adresu redakce Jiřímu Wagnerovi, redaktorovi NP (nickname JAG). Rubriku Zvířetník vede Lika.