Běžný člověk, který se matematiky děsí, ani netuší, za co vděčí například diferenciálním rovnicím Johna Nashe

John Forbes Nash

Matematik John Nash získal Abelovu cenu v hodnotě 765 tisíc dolarů společně s Louisem Nirenbergem za své dílo v oblasti geometrické analýzy. Zpráva, která vzbudila pozornost médií hlavně díky hollywoodskému zpracování Nashova života ve filmu Čistá duše (v originále A Beautiful Mind). Profesor Nash si ale zaslouží pozornost i z jiných důvodů než jen kvůli filmu.

John Nash je známý jako laureát Nobelovy pamětní ceny za ekonomickou vědu za rok 2001. Tato cena, zřízená teprve v 70. letech, bývá občas používána jako náhradní prostředek, jak odměnit významné matematiky za jejich celoživotní dílo. Abelova cena je relativní novinka, kterou udílí norská vláda od roku 2003. Jejím cílem je zaplnit místo, které Alfred Nobel vynechal.

Nashova rovnováha

Nobelova cena byla Nashovi udělena za práci v teorii her, což je odvětví matematiky, které má významné ekonomické aplikace. Teorie her se nezabývá hrami jako šachy; řeší rozhodování mezi variantami chování v podnikání, v politice nebo v diplomacii. Každý hráč má několik možností, které budou různě výhodné pro něho i pro protihráče. Nashova rovnováha nastává, když pro každého hráče je optimální dodržovat stejnou strategii s ohledem na možné strategie druhého hráče (nebo ostatních hráčů, pokud je jich více).

Příklad. Dejme tomu, že se píše rok 1913 a britské impérium a Francie (smluvní spojenci) se rozhodují, zda mají otevřít svůj trh Německu. Spojenci však vědí, že otevřením trhu jejich firmy ztratí část tržeb. Izolované Německo ale představuje vojenskou hrozbu. Němci na druhé straně vědí, že válka proti Británii a Francii by byla příliš drahá. Proto se po jistou dobu smíří s tržními bariérami a zachovávají mír.

Kdyby tehdejší státníci znali pojem Nashovy rovnováhy, snadno by viděli, že rovnovážná situace spočívající v ochranářské politice ze strany Británie a v přípravách na válku ze strany Německa není dlouhodobě stabilní. Přípravy na válku by trvaly jen do chvíle, než němečtí generálové dojdou k názoru, že mají dostatečnou převahu, a státníci najdou vhodnou záminku k zahájení konfliktu. A tak se i stalo. Nashova rovnováha přestala platit v roce 1914.

Uvedený příklad je samozřejmě velmi zjednodušený. Nicméně kdyby obě strany konfliktu provedly analýzu svých strategií podle Nashe a zjistily, že rovnovážná strategie vede ke katastrofě, mohly by začít jednat a vymyslet úplně jiné řešení. Třeba Světovou obchodní organizaci, která úspěšně odbourává cla a obchodní bariéry již desítky let. Dlouhé období míru v Evropě po roce 1945 je mimo jiné i výsledkem aplikace teorie her ve vojenské a politické strategii.

Důležitější než teorie her

Ale podle většiny matematiků je Nashova práce v oblasti teorie her méně důležitá než zbytek jeho díla věnovaný matematické analýze, zejména řešením tzv. eliptických a parabolických parciálních diferenciálních rovnic (speciální případy soustav nelineárních parciálních diferenciálních rovnic).

Mimochodem, co je to vlastně diferenciální rovnice? Jakákoli rovnice, kde jako jedna z proměnných vystupuje změna (diferenciál) některé veličiny. Jedna z nejjednodušších diferenciálních rovnic popisuje růst dřevní hmoty v lese: přírůstek objemu dřeva za jednotku času je roven celkovému objemu vynásobenému konstantou menší než jedna. Řešením této diferenciální rovnice je exponenciální funkce.

Toto je ovšem matematika z doby Isaaka Newtona. Moderní matematika zná soustavy rovnic, které jsou natolik teoreticky složité, že jen stěží si lze udělat představu o náročnosti jejich řešení. Aplikace jsou poněkud názornější. Šíření tepla v pevných látkách, aerodynamika a proudění plynů a viskózních tekutin, zpracování signálu a obrazu a tak dále. Běžný člověk, který se matematiky děsí, ani netuší, za co jí vděčí: za dnešní technicky vyspělou podobu automobilů a letadel, za telekomunikace, za polovodiče... Seznam je neuvěřitelně dlouhý. (Vyskytly se mimochodem i pokusy modelovat ekonomické a finanční procesy pomocí diferenciálních rovnic. Vesměs však měly jen teoretický význam. V praxi nikdy nefungovaly ani zdaleka tak dobře jako modely ve fyzice a v jiných exaktních vědách. Ekonomie možná vyžaduje nějaký úplně jiný druh matematiky, než jaký se běžně vyučuje na příslušných fakultách.)

Vedlejší produkt

Nabízí se otázka, proč Nash a mnozí další matematici došli k tak užitečným objevům. Dostal Nash velkorysý grant od nějaké velké průmyslové korporace anebo od NASA? Ne, kdepak. Velmi praktická řešení velmi složitých rovnic byla jen vedlejším produktem čistě teoretického výzkumu. V padesátých letech se matematici zabývali použitím diferenciálních rovnic v analýze Riemannových variet. Riemannova varieta je matematický termín, jehož vysvětlení jde za rámec možností novinového článku, ale to zde není podstatné. Podstatné je, že práce na důkazu jedné komplikované a velmi teoretické věty poskytly vysoce praktický matematický nástroj.

Věda si nedá poroučet. Zpravidla nelze jednoduše vytyčit směr „budeme zkoumat eliptické parciální diferenciální rovnice, protože nám to umožní konstruovat lepší letadla“. Většinou se ale ukazuje, že téměř cokoli teoretická matematika nebo fyzika objeví, dříve nebo později najde uplatnění v praxi. Aniž bychom zlehčovali roli aplikovaného výzkumu, je to základní výzkum, který je klíčem ke skutečnému poznání.

Autor je ekonom

LN, 15.4.2015