Slovo exponenciála se dnes skloňuje stejně často jako covid-19. Statistici se snaží vysvětlit laikům, co je to ten exponenciální růst, a zdá se, že marně. Možná není divu. Odpor k exponenciále máme zřejmě přírodou zakódovaný v genech. Naše smysly totiž všechny nejdůležitější vjemy logaritmují. Na to přišel v 19. století Ernst Weber, když zkoumal, jak lidé reagují na různé fyzikální stimuly. Jeho žák Gustav Fechner to pak formuloval jako zákon. Jedno z možných vyjádření zní: Jestliže intenzita podnětu roste geometrickou řadou, pak intenzita vjemu (počitku) roste řadou aritmetickou.

Doslova zářný příklad najdeme v astronomii. Ptolemaios ve starověku rozdělil hvězdy podle jasnosti do šesti skupin – hvězdných velikostí. Nejjasnější byly hvězdy první velikosti, o něco slabší patřily do třídy druhé velikosti, ještě o něco slabší do třetí… až ty nejméně jasné se ocitly ve škatulce šesté hvězdné velikosti. Když však o téměř dvě tisíciletí později nastoupily objektivní metody měření nezávislé na lidském vnímání, ukázalo se, že místo „o něco“ musíme říkat „několikrát“. Konkrétně hvězda, která nám připadá o jednu hvězdnou velikost jasnější, je ve skutečnosti jasnější 2,5krát. Rozdíl dvou hvězdných velikostí představuje už více než šestinásobnou jasnost. Hvězdy první velikosti jsou stokrát jasnější než ty nejslabší viditelné prostým okem.

To je ovšem úžasná vlastnost našeho zraku, tedy oka a příslušného mozkového centra, které „signál“ zpracovává. Dokáže pojmout obrovské rozpětí jasů. Hravě si poradí třeba s pozorováním Saturnu vedle měsíčního úplňku, přitom Měsíc je v úplňku stotisíckrát jasnější, a to i když Saturn právě dosahuje nejvyšší jasnosti. Takový rozsah žádný fotoaparát ani profesionální CCD snímač nemá.

Se sluchem jsme na tom ještě lépe. Mezi kraválem, jejž vnímáme jen jako bolest, a nejslabším zvukem, který sluch zaznamená, je rozdíl 130 decibelů. Když tohle převedeme do výkonu zvuku, co dokážeme slyšet, zjistíme, že ten nejhlasitější je desetbilionkrát intenzivnější než ten nejslabší! S ostatními smysly to máme podobné. Jak už víme, je to díky tomu, že náš mozek vjemy logaritmuje.

Logaritmus je inverzní matematická funkce k exponenciále. Zjednodušeně je to exponenciála naruby. A když zlogaritmujeme exponenciálu (geometrický růst), dostaneme přímku (aritmetický růst). Zatímco exponenciální růst je zprvu nenápadný a najednou vystřelí tak rychle, že se graf nevejde na papír či monitor, logaritmický růst je největší na začátku při nízkých hodnotách a pak zpomaluje. Stejně jako ten exponenciální, i logaritmický růst pokračuje donekonečna, ale už po několika krocích je tak pomalý, že začíná být zanedbatelný.

Tento náš způsob zpracování vjemů může stát i za tím, že si nedokážeme intuitivně představit, co se stane, když se něco množí nebo zvětšuje geometrickou řadou. Svět vnímáme logaritmicky, a tak se nedivme, že exponenciála zaskočí i nás, kteří se na ni cítíme být připraveni.

LN, 31.10.2020

*****************************

Czech Space Week - festival věnovaný vesmírným technologiím, kosmickému vzdělávání i businessu. Letošní ročník proběhne online v týdnu od 9. do 15. listopadu.